如何使用JS求得數(shù)組的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)

方法來自求多個數(shù)最小公倍數(shù)的一種變換算法（詳見附錄說明）

最小公倍數(shù)的算法由最大公約數(shù)轉(zhuǎn)化而來。最大公約數(shù)可通過如下步驟求得：

（1） 找到a1,a2,..,an中的最小非零項aj，若有多個最小非零項則任取一個
（2） aj以外的所有其他非0項ak用ak mod aj代替；若沒有除aj以外的其他非0項，則轉(zhuǎn)到（4）
（3） 轉(zhuǎn)到（1）
（4） a1,a2,..,an的最大公約數(shù)為aj

寫了兩個版本的javascript求公倍數(shù)和公約數(shù)，主要偏重于算法，沒有太注意命名，很多就直接寫的單字母名稱。

0. 簡單易懂的循環(huán)

function getMin(arr){
 var min = Infinity
 arr.forEach(function(item){
 if( item < min && item !=0 ){
 min = item
 }
 })
 return min
}
function howMuchZero(arr){
 var zerocount = 0
 arr.forEach( function(item){
 item === 0 ?
 zerocount++ : zerocount
 }
 )
 if(zerocount === arr.length -1) {
 return true
 }
 else return false
}
function maxpi(arr){
 do {
 var min = getMin(arr)
 arr = arr.map((item)=> item===min? item:item%min
 )
 }
 while (!howMuchZero(arr))
 return getMin(arr)
}
function minMulti(arr){
 var totalMulti = arr.reduce((pre,item)=>
 pre = pre * item
 )
 var brr = arr.map((item)=>
 totalMulti/item
 )
 var brr_maxpi = maxpi(brr)
 return totalMulti/brr_maxpi
}

1. function套function

var arr_minMulti, arr_maxpi
function minMulti(arr){
 var totalmulti =
 arr.reduce((multi,curvalue) => multi * curvalue)
 if (totalmulti === 0) {
 arr_minMulti = 0
 return
 }
 var marr = arr.map((item) => totalmulti/item)
 maxpisor(marr)
 arr_minMulti = totalmulti / arr_maxpi
}
function maxpisor(arr){
 var min = getMin(arr)
 if(min === Infinity) {
 arr_maxpi = min
 return
 }
 var exparr = arr.filter(function(item){
 return (item !== min && item !== 0)
 })
 if(exparr.length === 0){
 arr_maxpi = min
 return;
 }
 else{
 var modearr = arr.map(function(item){
 return (item === min||item===0)? item:item%min
 })
 console.log(modearr,'modearr')
 maxpisor(modearr)
 }
}
function getMin(arr){
 var min = Infinity
 arr.forEach(function(item){
 if (item && item < min) {
 min = item
 }
 })
 return min
}
arr =[13,20,10,26]
minMulti(arr)
console.log('最小公倍數(shù)',arr_minMulti)

2. object oriented 面向?qū)ο?/p>

function maxpisor(arr,origin){
 this.arr = arr
 this.min = this._getMin(arr)
 this.maxpisor = this._getMaxp()
 if(origin){
 this.minMulti = this._getMinMulti()
 }
}
maxpisor.prototype._getMin = function(arr) {
 var min = Infinity
 arr.forEach(item => min = (item && item < min)? item : min)
 return min
}
maxpisor.prototype._getMaxp = function() {
 var arr_maxpi
 var self = this,
 arr = this.arr
 function maxpisor(arr){
 //console.log(self._getMin)
 var min = self._getMin.call(null,arr)
 console.log(min,'min')
 if(min === Infinity) {
 arr_maxpi = 0
 return ;
 }
 var exparr = arr.filter( item => (item !== min && item != 0) )
 if(exparr.length === 0){
 arr_maxpi = min
 return;
 }
 else{
 var modearr = arr.map(item =>
 (item === min || item === 0)? item : item % min
 )
 maxpisor(modearr)
 }
 }
 maxpisor(this.arr)
 return arr_maxpi
}
maxpisor.prototype._getMinMulti = function(){
 var arr = this.arr,
 arr_minMulti
 var totalmulti =
 arr.reduce((multi,curvalue) => multi * curvalue)
 if (totalmulti === 0) {
 return 0
 }
 else {
 var marr = arr.map((item) => totalmulti/item),
 b = new maxpisor(marr,false)
 arr_minMulti = totalmulti / b.maxpisor
 return arr_minMulti
 }
}
var a = new maxpisor([12,9,6],true)
console.log(a)

附錄：求多個數(shù)最小公倍數(shù)的一種變換算法原理分析

令[a1,a2,..,an] 表示a1,a2,..,an的最小公倍數(shù)，(a1,a2,..,an)表示a1,a2,..,an的最大公約數(shù)，其中a1,a2,..,an為非負整數(shù)。對于兩個數(shù)a,b，有[a,b]=ab/(a,b)，因此兩個數(shù)最小公倍數(shù)可以用其最大公約數(shù)計算。但對于多個數(shù)，并沒有[a1,a2,..,an]=M/(a1,a2,..,an)成立，M為a1,a2,..,an的乘積。例如：[2,3,4]并不等于24/(2,3,4)。即兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之間的關(guān)系不能簡單擴展為n個數(shù)的情況。

這里對多個數(shù)最小公倍數(shù)和多個數(shù)最大公約數(shù)之間的關(guān)系進行了探討。將兩個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之間的關(guān)系擴展到n個數(shù)的情況。在此基礎(chǔ)上，利用求n個數(shù)最大公約數(shù)的向量變換算法計算多個數(shù)的最小公倍數(shù)。

1．多個數(shù)最小公倍數(shù)和多個數(shù)最大公約數(shù)之間的關(guān)系

令p為a1,a2,..,an中一個或多個數(shù)的素因子，a1,a2,..,an關(guān)于p的次數(shù)分別為r1,r2,..,rn，在r1,r2,..,rn中最大值為rc1=rc2=..=rcm=rmax，最小值為rd1=rd2=..=rdt=rmin，即r1,r2,..,rn中有m個數(shù)所含p的次數(shù)為最大值，有t個數(shù)所含p的次數(shù)為最小值。例如：4,12,16中關(guān)于素因子2的次數(shù)分別為2，2，4，有1個數(shù)所含2的次數(shù)為最大值，有2個數(shù)所含2的次數(shù)為最小值；關(guān)于素因子3的次數(shù)分別為0，1，0，有1個數(shù)所含3的次數(shù)為最大值，有2個數(shù)所含3的次數(shù)為最小值。

對最大公約數(shù)有，只包含a1,a2,..,an中含有的素因子，且每個素因子次數(shù)為a1,a2,..,an中該素因子的最低次數(shù)，最低次數(shù)為0表示不包含[1]。

對最小公倍數(shù)有，只包含a1,a2,..,an中含有的素因子，且每個素因子次數(shù)為a1,a2,..,an中該素因子的最高次數(shù)[1]。

定理1：[a1,a2,..,an]=M/(M/a1,M/a2,..,M/an)，其中M為a1,a2,..,an的乘積，a1,a2,..,an為正整數(shù)。

例如：對于4,6,8,10，有[4,6,8,10]=120，而M=4*6*8*10=1920，M/(M/a1,M/a2,..,M/an) =1920/(6*8*10,4*8*10,4*6*10,4*6*8)=1920/16=120。

證明：

M/a1,M/a2,..,M/an中p的次數(shù)都大于等于r1+r2+..+rn-rmax，且有p的次數(shù)等于r1+r2+..+rn-rmax的。這是因為

（1）M/ai中p的次數(shù)為r1+r2+..+rn-ri，因而M/a1,M/a2,..,M/an中p的次數(shù)最小為r1+r2+..+rn-rmax。

（2）對于a1,a2,..,an中p的次數(shù)最大的項aj（1項或多項），M/aj中p的次數(shù)為r1+r2+..+rn-rmax。

或者對于a1,a2,..,an中p的次數(shù)最大的項aj，M/aj中p的次數(shù)小于等于M/ak，其中ak為a1,a2,..,an中除aj外其他的n-1個項之一，而M/aj中p的次數(shù)為r1+r2+..+rn-rmax。

因此，(M/a1,M/a2,..,M/an)中p的次數(shù)為r1+r2+..+rn-rmax，從而M/(M/a1,M/a2,..,M/an)中p的次數(shù)為rmax。

上述的p并沒有做任何限制。由于a1,a2,..,an中包含的所有素因子在M/(M/a1,M/a2,..,M/an)中都為a1,a2,..,an中的最高次數(shù)，故有[a1,a2,..,an]=M/(M/a1,M/a2,..,M/an)成立。

得證。

定理1對于2個數(shù)的情況為[a,b]=ab/(ab/a,ab/b)=ab/(b,a)=ab/(a,b)，即[a,b]=ab/(a,b)。因此，定理1為2個數(shù)最小公倍數(shù)公式[a,b]=ab/(a,b)的擴展。利用定理1能夠把求多個數(shù)的最小公倍數(shù)轉(zhuǎn)化為求多個數(shù)的最大公約數(shù)。

2．多個數(shù)最大公約數(shù)的算法實現(xiàn)

根據(jù)定理1，求多個數(shù)最小公倍數(shù)可以轉(zhuǎn)化為求多個數(shù)的最大公約數(shù)。求多個數(shù)的最大公約數(shù)(a1,a2,..,an)的傳統(tǒng)方法是多次求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即

（1）用輾轉(zhuǎn)相除法[2]計算a1和a2的最大公約數(shù)(a1,a2)

（2）用輾轉(zhuǎn)相除法計算(a1,a2)和a3的最大公約數(shù)，求得(a1,a2,a3)

（3）用輾轉(zhuǎn)相除法計算(a1,a2,a3)和a4的最大公約數(shù)，求得(a1,a2,a3,a4)

（4）依此重復(fù)，直到求得(a1,a2,..,an)

上述方法需要n-1次輾轉(zhuǎn)相除運算。

本文將兩個數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法擴展為n個數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法，即用一次n個數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法計算n個數(shù)的最大公約數(shù)，基本方法是采用反復(fù)用最小數(shù)模其它數(shù)的方法進行計算，依據(jù)是下面的定理2。

定理2：多個非負整數(shù)a1,a2,..,an，若aj>ai，i不等于j，則在a1,a2,..,an中用aj-ai替換aj，其最大公約數(shù)不變，即 (a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)=(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)。

例如：(34,24,56,68)=(34,24,56-34,68)=(34,24,22,68)。

證明：

根據(jù)最大公約數(shù)的交換律和結(jié)合率，有

(a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)= ((ai,aj),(a1,a2,..,ai-1,ai+1,..aj-1,aj+1,..an))（i>j情況），或者

(a1,a2,..,aj-1,aj,aj+1,..an)= ((ai,aj),(a1,a2,..,aj-1,aj+1,..ai-1,ai+1,..an))（i<j情況）。

而對(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)，有

(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)= ((ai, aj-ai),( a1,a2,..,ai-1,ai+1,.. aj-1,aj+1,..an))（i>j情況），或者

(a1,a2,..,aj-1,aj-ai,aj+1,..an)= ((ai, aj-ai),( a1,a2,..,aj-1,aj+1,.. ai-1,ai+1,..an))（i<j情況）。

因此只需證明(ai,aj)=( ai, aj-ai)即可。

由于(aj-ai)= aj-ai，因此ai,aj的任意公因子必然也是(aj-ai)的因子，即也是ai,( aj-ai)的公因子。由于aj = (aj-ai)+ai，因此ai,( aj-ai)的任意公因子必然也是aj的因子，即也是ai,aj的公因子。所以，ai,aj的最大公約數(shù)和ai,(aj-ai) 的最大公約數(shù)必須相等，即(ai,aj)=(ai,aj-ai)成立。

得證。

定理2類似于矩陣的初等變換，即

令一個向量的最大公約數(shù)為該向量各個分量的最大公約數(shù)。對于向量<a1,a2,..,an>進行變換：在一個分量中減去另一個分量，新向量和原向量的最大公約數(shù)相等。

求多個數(shù)的最大公約數(shù)采用反復(fù)用最小數(shù)模其它數(shù)的方法，即對其他數(shù)用最小數(shù)多次去減，直到剩下比最小數(shù)更小的余數(shù)。令n個正整數(shù)為a1,a2,..,an，求多個數(shù)最大共約數(shù)的算法描述為：

（1）找到a1,a2,..,an中的最小非零項aj，若有多個最小非零項則任取一個

（2）aj以外的所有其他非0項ak用ak mod aj代替；若沒有除aj以外的其他非0項，則轉(zhuǎn)到（4）

（3）轉(zhuǎn)到（3）

（4）a1,a2,..,an的最大公約數(shù)為aj

例如：對于5個數(shù)34, 56, 78, 24, 85，有

(34, 56, 78, 24, 85)=(10,8,6,24,13)=(4,2,6,0,1)=(0,0,0,0,1)=1，

對于6個數(shù)12, 24, 30, 32, 36, 42，有

(12, 24, 30, 32, 36, 42)=(12,0,6,8,0,6)=(0,0,0,2,0,6)=(0,0,0,2,0,0)=2。

3. 多個數(shù)最小共倍數(shù)的算法實現(xiàn)

求多個數(shù)最小共倍數(shù)的算法為：

（1）計算m=a1*a2*..*an

（2）把a1,a2,..,an中的所有項ai用m/ai代換

（3）找到a1,a2,..,an中的最小非零項aj，若有多個最小非零項則任取一個

（4）aj以外的所有其他非0項ak用ak mod aj代替；若沒有除aj以外的其他非0項，則轉(zhuǎn)到（6）

（5）轉(zhuǎn)到（3）

（6）最小公倍數(shù)為m/aj

上述算法在VC環(huán)境下用高級語言進行了編程實現(xiàn)，通過多組求5個隨機數(shù)最小公倍數(shù)的實例，與標準方法進行了比較，驗證了其正確性。標準計算方法為：求5個隨機數(shù)最小公倍數(shù)通過求4次兩個數(shù)的最小公倍數(shù)獲得，而兩個數(shù)的最小公倍數(shù)通過求兩個數(shù)的最大公約數(shù)獲得。

5. 結(jié)論

計算多個數(shù)的最小公倍數(shù)是常見的基本運算。n個數(shù)的最小公倍數(shù)可以表示成另外n個數(shù)的最大公約數(shù)，因而可以通過求多個數(shù)的最大公約數(shù)計算。求多個數(shù)最大公約數(shù)可采用向量轉(zhuǎn)換算法一次性求得。

相信看了本文案例你已經(jīng)掌握了方法，更多精彩請關(guān)注Gxl網(wǎng)其它相關(guān)文章！

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